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定义

给定一个环 $R$，如果 $R$ 的非空子集 $S$ 满足：

1. 对于任意 $a, b \in S$，有 $a - b \in S$；（类比子群的检验）
2. 对于任意 $a, b \in S$，有 $ab \in S$。

则称 $S$ 是 $R$ 的一个子环。

性质

• 大环有壹，子环未必有壹

  例如 $\mathbb{Z}$ 的子环 $\mathbb{2Z}$ 就没有壹。

• 若子环有壹，则其壹未必与大环的壹一致

  • 设 $R$ 是实数域上的二阶正方矩阵环，其中形如 $\begin{bmatrix}a & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$ 的矩阵构成子环 $N$
  • $R$ 中的壹为 $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$
  • $Z$ 中的壹为 $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$