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定义

$(R, +, \cdot)$被称为一个环，如果它满足以下条件：

1. $(R, +)$是一个交换群
2. $(R, \cdot)$是一个半群
3. 乘法对加法满足分配律

特殊环

含壹环

定义

若环$R$不只有一个元素且有一个元素$1$满足$1 \cdot a = a \cdot 1 = a$，则称$R$为一个含壹环。

性质

• 含壹环的定义中，加法的交换律是多余的。

  证明：

  • $(a+b)\cdot(1+1)=a\cdot(1+1)+b\cdot(1+1)=a+a+b+b=a+\textbf{(a+b)}+b$
  • $(a+b)\cdot(1+1)=(a+b)\cdot1+(a+b)\cdot1=a+b+a+b=a+\textbf{(b+a)}+b$

消去环

定义

$a,b\in R$，且 $a\neq 0, b\neq 0$，若 $a\cdot b=0$，则称 $a,b$ 为零因子。

没有零因子的环称为消去环。

例

• $\mathbb{Z}$是消去环
• 矩阵环不是消去环

性质

• 环 $R$ 是消去环 $\iff$ $R$ 中消去律成立

• 消去环中，非零元素在加法下周期相同

  证明：

  • 若不为 $0$ 的元素在加法下周期均为 $0$ ，则得证
  • 否则，$R$ 中存在非零元素 $a$ , $a$ 的周期不是 $0$ ，设为 $m$，即 $ma=0$ ，任取 $R$ 中非零元 $b$， 则 $a\cdot (mb)=(ma)\cdot b=0\cdot b=0$
  • 由 $a \ne 0$ ，且 $R$ 无零因子，得 $mb=0$ ，即 $b$ 的周期 $n$ 为 $m$ 的因子
  • $(na) \cdot b = a \cdot (nb) = a0 = 0$ ，同理 $a$ 的周期 $m$ 为 $n$ 的因子
  • 由 $m$ 为 $n$ 的因子，$n$ 为 $m$ 的因子，得 $m=n$

• 不为 $0$ 的元素在加法下的周期或为 $0$ 或为质数

  证明：

  • 若 $n$ 为合数，则存在 $n=n_1n_2$ ，$(n_1a)\cdot(n_2a)=(n_1n_2)(a\cdot a)=(na)\cdot a=0$
  • 则 $n_1a,n_2a$中至少有一个为 $0$，与 $a$ 的周期为 $n$ 矛盾

交换环

定义

若环 $R$ 满足 $a\cdot b=b\cdot a$，则称 $R$ 为交换环。

整区

定义

若环既是含壹环又是消去环，还是交换环，则称该环为整区。