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定义

我们将一个区间$I$、一块平面区域$D$、一个空间区域$\Omega$、一条曲线弧$L$及一片曲面$\Sigma$等统称为几何形体，并记为$G$

我们总是假设$G$是有界的，而且它们是可度量的（即可以测量它们的长度、面积、体积等）

设$f(M)$是定义在可度量的有界几何形体$G$上的有界函数。将$G$任意分割成$n$个小的几何形体$\Delta G_i$，记$\Delta G_i$的直径为$d_i$，任取$M_i\in\Delta G_i$，作积分和

$$ \sum_{i=1}^nf(M_i)\Delta G_i $$

如果不论对$G$怎样分割，也不管$M_i$在$\Delta G_i$上如何选取，只要$d_i\to0$，上式的极限总存在，那么称$f(M)$在$G$上是可积的，这个极限称为$f(M)$在几何形体$G$上的积分，记为

$$\int\limits_G f(M)dG$$

即

$$I=\int\limits_G f(M)dG = \lim_{d\to0} \sum_{i=1}^n f(M_i) \Delta G_i$$

其中$f(M)$称为被积函数，$G$称为积分区域，$dG$称为度量元素，$f(M)dG$称为被积表达式，$\int$称为积分号