笛卡儿积.md

笛卡儿积的定义

笛卡儿积是指由两个集合$A$和$B$中的元素按照一定规则组成的所有有序数对的集合。具体地说，设$A=\{a_1,a_2,a_3,...,a_n\}$，$B=\{b_1,b_2,b_3,...,b_m\}$，则它们的笛卡儿积$A\times B$定义为：

$$A×B = \{(a_1,b_1),(a_1,b_2),...,(a_1,b_m),(a_2,b_1),(a_2,b_2),...,(a_n,b_m)\}$$

其中，每个元素$(ai,bj)$都是一个有序数对，表示集合$A$中的元素$a_i$和集合$B$中的元素$b_j$组成的一个新元素。注意，如果$A$或$B$中存在重复元素，则这些重复元素在笛卡儿积中也会出现多次。

由排列组合的可证明，如果集合$A$的元数$|A|=m$，集合$B$的元数$|B|$的元数$|B|=n$，则$A\times B$中有$mn$个元素

笛卡儿积运算的性质

1. 对于任何集合$A$，根据定义有$A\times\emptyset=\emptyset, \emptyset\times A=\emptyset$
2. 一般地，笛卡儿积运算不满足交换律，即$A\times B\ne B\times A$（当$A\ne\emptyset,B\ne\emptyset且A\ne B时$）
3. 笛卡儿积运算不满足结合律，即$(A\times B)\times C\ne A\times(B\times C)$（当$A\ne\emptyset$,$B\ne\emptyset$,$C\ne\emptyset$时）
4. 笛卡儿积运算对并和交运算满足分配率，即

$$ \begin{align} A\times(B\cup C) = (A\times B) \cup (A\times C), (B\cup C)\times A=(B\times A)\cup (C\times A),\\ A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C), (B\cap C)\times A = (B\times A)\cap(C\times A) \end{align} $$

5. 设$A,B,C,D$是集合，则有：若$A\subseteq C$且$B\subseteq D$，则$A\times B \subseteq C\times D$