闭包.md

设$A$是非空集合，$R$是$A$上的二元关系，$R$的自反闭包（对称闭包、传递闭包）$R'$满足如下条件：

1. $R'$是自反的（对称的、传递的）
2. $R\subseteq R'$
3. 对$A$上的任何包含$R$的自反的（对称的、传递的）关系$R''$，必有$R'\subseteq R''$

$R$的自反闭包、对称闭包和传递闭包分别记为$r(R),s(R),t(R)$，也称$r,s,t$为闭包运算，它们作用于关系$R$后，产生包含$R$的最小的自反、对称、传递的关系。这三个闭包也可根据下述定理来进行计算

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设$R$是集合$A$上的关系，那么

1. $r(R)=I_A\cup R$
2. $s(R)=R\cup R^{-1}$
3. $t(R)=\cup_{i=1}^{\infty}{R^i}$