良序集.md
设$(A,\le)$是一个全序集，称$(A,\le)$是良序集，如果$A$的任意非空子集都有关于$\le$的最小元
定理：设$(A,\le)$是有穷的全序集，那么它一定是良序集
证明：设$A=\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\}$，现在假设$A$不是良序集，那么必存在一个非空子集$B\subseteq A$，$B$中不存在最小元，由于$B$是有穷的集合，那么一定可以找出两个元素$x$和$y$，它们之间没有$\le$关系，这与$(A,\le)$是有穷的全序集矛盾
设$(A,\le)$是一个全序集，称$(A,\le)$是良序集，如果$A$的任意非空子集都有关于$\le$的最小元
定理：设$(A,\le)$是有穷的全序集，那么它一定是良序集
证明：设$A=\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\}$，现在假设$A$不是良序集，那么必存在一个非空子集$B\subseteq A$，$B$中不存在最小元，由于$B$是有穷的集合，那么一定可以找出两个元素$x$和$y$，它们之间没有$\le$关系，这与$(A,\le)$是有穷的全序集矛盾