等价类.md

设$A$是一个非空集合，$R$是$A$上的等价关系，$A$的一个非空子集$M$叫做一个等价类，如果

1. 若$a\in M,b\in M, 则aRb$
2. 若$a\in M, b\not\in M$，则$a\not Rb$；或者若$a\in M$，$aRb$，则$b\in M$

换句话说，如果$M$中任意两个元素等价，而$M$中任意元素与$M$外任意元素不等价，则$M$就是一个等价类

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若$R$是集合$A$上的等价关系，于是等价类存在

证明：任取$a\in A$，令

$$ M=\{x|x\in A并且xRa\} $$

显然，$M$非空

任取$x_1\in M$，$x_2\in M$，由于$x_1Ra$，$x_2Ra$，而$R$具有对称性、传递性，所以$x_1Rx_2$

任取$x_1\in M$，若$x_1Ry$，则由于$x_1Ra$，所以$yRa$，故$y\in M$

因此，$M$是一个等价类

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设$R$是集合$A$上的等价关系，$M_1$，$M_2$，$\cdots$，是$A$中所有等价类，于是

$$ A=M_1\cup M_2\cup\cdots $$

并且$M_i\cap M_j=\emptyset(i\ne j)$，亦即集合$A$上的等价关系把$A$分成了互不相交的等价类

证明：任取$M_i,M_j,i\ne j$，若有$x\in M_i\cap M_j$，则任取$a\in M_i,b\in M_j$，都有$aRx,bRx$，故$M_i=M_j$矛盾

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任取$a\in A$，令

$$ M=\{x|x\in A并且xRa\} $$

$M$是等价类，故有$k$，使得$M=M_k$，因为$a\in M$，所以

$$ a\in M_1\cup M_2\cup\cdots\cup M_k\cup\cdots $$

故$A\subseteq M_1\cup M_2\cup\cdots$，显然有$M_1\cup M_2\cup\cdots\subseteq A$

故$A=M_1\cup M_2\cup\cdots$