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设$R$是非空集合$A$上的等价关系，以$R$的所有不同等价类为元素构成的集合称为$A$的商集，记作$A/R$

由等价类的定义知道，$A/R$中的任意两个元素都是不交的，且$\cup_{A/R}=A.$其中，$\cup_{A/R}$表示商集$A/R$中所有元素的并集

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定理：设$A$为一个非空集合

1. 设$R$为$A$上的任意一个等价关系，则对应$R$的商集$A/R$为$A$的一个划分
2. 设$C$为$A$的任一个划分，令$R_c=\{(x,y)|x,y\in A$并且$x,y$属于$C$的同一划分块$\}$，则$R_c$为$A$上的等价关系

证明：

1. 证明等价关系的商集是划分
   1. 由等价类的非空性可知，$A/R$中任一元素均为非空集合；
   2. 且已知$A/R$中的任意两个元素都是不交的
   3. 且$\cup_{A/R}=A$
   4. 于是$A/R$是集合$A$的一个划分
2. 证明“同属于一个划分块”关系是等价关系
   1. 证自反性。对于任意$x\in A$，$(x,x)$显然属于$C$的同一划分块，因此$(x,x)\in R_c$，于是$R_c$为$A$上的自反关系
   2. 证对称性。对于任意$x,y\in A$，由$(x,y)\in R_c$，得$x,y属于C的同一个划分块$，于是$y,x属于C的同一划分块$，于是$(y,x)\in R_c$，于是$R_c$为$A$上的对称关系
   3. 证传递性。对于任意$x,y,z\in A$，由$(x,y)\in R_c$，得$x,y属于C的同一个划分块$，同理由$(y,z)\in R_c$，得$y,z属于C的同一个划分块$，于是$x,z$属于$C$的同一个划分块，于是$(x,z)\in R_c$，于是$R_c$为$A$上的传递关系
   4. 于是$R_c$为$A$上的等价关系

这两个定理说明，非空集合$A$上的等价关系与$A$的划分是一一对应的，于是$A$上有多少个不同的等价关系，就产生同样个数的不同的划分；反之亦然