算术基本定理.md

任意正整数$n$（$n\ne 1$），恰有一法写成质数的乘积（不计因数乘积的顺序）。

证明

先证$n$而已写成质数的乘积

利用数学归纳法，$n=2$时，显然成立，因为$2$是质数，算是已经写成了质数的乘积

假设$n\lt k$时定理成立，当$n=k$时，若$k$是质数，显然成立，若$k$是合数，则存在不为$1$且不为$k$的正因数$c$。于是$k$可写成$c\times (k/c)$，而$c$和$(k/c)$显然都小于$k$，于是都可以写成质数乘积的形式，于是$k$也可以写成质数乘积的形式

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再证$n$只有一法写成质数的乘积，换句话说

如果

$$ n=p_1\cdots p_h=q_1\cdots q_k $$

而$p_1,\cdots,p_h$，$q_1,\cdots,q_k$都是质数，则$h=k$，而且$p_1,\cdots,p_h$和$q_1,\cdots,q_k$完全一样，最多次序不同

推论

1. 任意整数（$\ne0,\ne\pm1$）恰好有一法写成下面的形式：

   $$\pm p_1\cdots p_k$$

   其中$p_1,\cdots,p_k$都是质数

2. 任意整数（$\ne0,\ne\pm1$）恰好有一法写成下面的形式：

   $$\pm p_1^{r_1}\cdots p_n^{r_n}$$

   其中$p_1,\cdots,p_n$是不同的质数，$r_1,\cdots,r_n$是正整数