ax=0.md
对于$n$元齐次线性方程组
$$ Ax=0 $$其系数矩阵$A=(a_{ij})_{m\times n}$
设$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t$是该方程组的解，并且
- $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t$线性无关
- 方程组的任一解都可由$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t$线性表示
则称$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_t$为方程组的一个基础解系
基础解系的求法
对$A$进行初等行变换，化为行最简形矩阵
$$ C= \begin{bmatrix} 1&\cdots&0&c_{11}&\cdots&c_{1,n-r}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&\cdots&1&c_{r1}&\cdots&c_{r,n-r}\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0 \end{bmatrix} $$于是对应方程组为
$$ \begin{cases} \begin{align} x_1=-c_{11}x_{r+1}&-\cdots-c_{1,n-r}x_n\\ x_2=-c_{21}x_{r+1}&-\cdots-c_{2,n-r}x_n\\ &\vdots\\ x_r=-c_{r1}x_{r+1}&-\cdots-c_{r,n-r}x_n \end{align} \end{cases} $$令
$$ \begin{bmatrix} x_{r+1}\\ x_{r+2}\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix} , \cdots , \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 1 \end{bmatrix} $$可得
$$ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -c_{11}\\ -c_{21}\\ \vdots\\ -c_{r1} \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -c_{12}\\ -c_{22}\\ \vdots\\ -c_{r2} \end{bmatrix} , \cdots , \begin{bmatrix} -c_{1,n-r}\\ -c_{2,n-r}\\ \vdots\\ -c_{r,n-r} \end{bmatrix} $$从而
$$ \xi_1= \begin{bmatrix} -c_{11}\\ \vdots\\ -c_{r1}\\ 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix} , \xi_2= \begin{bmatrix} -c_{12}\\ \vdots\\ -c_{r2}\\ 0\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix} , \cdots , \xi_{n-r}= \begin{bmatrix} -c_{1,n-r}\\ \vdots\\ -c_{r,n-r}\\ 0\\ 0\\ \vdots\\ 1 \end{bmatrix} $$