linear_combination.md

设$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$为$n$维向量组，$k_1,k_2,\cdots,k_s$为一组数，则称

$$ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s $$

为向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$的一个线性组合，$k_1,k_2,\cdots,k_s$称为这个线性组合的系数

对于向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$，和向量$\alpha$，如果存在一组数$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$，使

$$ \lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\cdots+\lambda_s\alpha_s=\alpha $$

即向量$\alpha$可以表示为向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$的线性组合，则称向量$\alpha$能由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性表示

由此可得，向量$\alpha$能由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性表示的充分必要条件是线性方程组$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_s\alpha_s$有解

显然，任意一个$n$维向量

$$ \alpha= \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n \end{bmatrix} $$

都可以由$n$个基本向量组$e_1,e_2,\cdots,e_n$线性表示，即

$$ \alpha=a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_ne_n $$