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设非齐次线性方程组$Ax=b$，其中$A=(a_{ij})_{m\times n}$，且$R(A)=r$

不妨设$A$的前$r$列中有$r$阶非零子式，对增广矩阵$B=(A,b)$进行行的换法变换，将非零子式所在的行移动到前$r$行，再经过若干次初等行变换，将$B$化为行最简形矩阵

$$ (C,d)= \begin{bmatrix} 1&0&\cdots&0&c_{1,r+1}&\cdots&c_{1n}&d_1\\ &1&\ddots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ &&\ddots&0&c_{r-1,r+1}&\cdots&c_{r-1,n}&d_{r-1}\\ &&&1&c_{r,r+1}&\cdots&c_{rn}&d_r\\ &&&&0&\cdots&0&d_{r+1}\\ &&&&0&\cdots&0&0\\ &&&&\vdots&&\vdots&\vdots\\ &&&&0&\cdots&0&0 \end{bmatrix} $$

由于初等变换不改变矩阵的秩，所以

$$ R(A)=R(C)=r $$

从而

$$ R(A,b)=R(C,d)= \begin{cases} r,&当d_{r+1}=0时,\\ r+1,&当d_{r+1}\ne0时 \end{cases} $$

显然：

• 当$d_{r+1}\ne0$时，$R(A,b)>R(A)$，于是显然方程组无解

• 当$d_{r+1}=0$时，$R(A,b)=R(A)=r$

  • 若$r=n$，方程组有唯一解
  • 若$r<n$，方程组有无穷多个解，此时称$x_{r+1},x_{r+2},\cdots,x_{n}$为一组自由未知量