rank_of_mul.md

设$A$为$m\times n$矩阵，$B$为$n\times p$矩阵，则$R(AB)\ge R(A)+R(B)-n$

证明

设$R(A)=r$，则存在$m$阶可逆矩阵$P$和$n$阶可逆矩阵$Q$，使

$$ PAQ= \begin{bmatrix} E_r&O\\ O&O \end{bmatrix} $$

将矩阵$Q^{-1}B$分块为

$$ Q^{-1}B= \begin{bmatrix} B_1\\ B_2 \end{bmatrix} $$

其中$B_1$是$r\times p$矩阵，$B_2$是$(n-r)\times p$矩阵，由于

$$ PAB=PAQQ^{-1}B= \begin{bmatrix} E_r&O\\ O&O \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_1\\ B_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_1\\ O \end{bmatrix} $$

所以

$$ R(AB)=R(PAB)=R \begin{bmatrix} B_1\\ O \end{bmatrix} =R(B_1) $$

由于$B_1$是$Q^{-1}B$去掉$n-r$行得到的矩阵，而矩阵每去掉一行则秩减一或不变，因此

$$ R(B_1)\ge R(Q^{-1}B)-(n-r)=R(B)-(n-r) $$

从而

$$ R(AB)\ge r+R(B)-n $$

即$R(AB)\ge R(A)+R(B)-n$

推论

当$AB=O$时，有

$$ R(A)+R(B)\le n $$