companion_mat_rank.md

1. 当$R(A)=n$时，$R(A^*)=n$
2. 当$R(A)=n-1$时，$R(A^*)=1$
3. 当$R(A)\lt n-1$时，$R(A^*)=0$

证明

1. 当$R(A)=n$时，$A$为满秩矩阵，所以$|A^*|=|A|^{n-1}\ne0$，从而$R(A^*)=n$
2. 当$R(A)=n-1$时，$|A|=0$，所以$AA^*=|A|E=O$，所以$R(A)+R(A^*)\le n$，$R(A^*)\ne1$，又由$R(A)=n-1$可知，$A$中至少有一个元素的代数余子式不为零，即$A^*$是非零矩阵，从而有$R(A^*)\ge1$，故$R(A^*)=1$
3. 当$R(A)\lt n-1$时，$A$的每一个$n-1$阶子式都等于零，因而$A$的所有元素的代数余子式均为零，即$A^*$是零矩阵，故$R(A^*)=0$