non-zero_det.md

方阵$A$可逆的充分必要条件是$|A|\ne0$，并且当$A$可逆时，有

$$ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* $$

证明

必要性

若$A$可逆，则存在逆矩阵$A^{-1}$，使得$AA^{-1}=E$，在等式两端取行列式，根据行列式的运算规律便有

$$ |A||A^{-1}|=1 $$

于是必有

$$ |A|\ne0 $$

充分性

若$|A|\ne0$，由伴随矩阵的性质可得

$$ A(\frac{1}{|A|}A^*)=(\frac{1}{|A|}A^*)A=E $$

因此由可逆矩阵的定义可知，方阵$A$可逆，并且

$$ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* $$

由此，原式不但是方阵$A$可逆的充分必要条件，也给出了求$A^{-1}$的一种方法