ele_trans_composited.md

方阵$A$可逆的充分必要条件是$A$可以通过有限次初等变换化为单位矩阵

证明

必要性

设$A$为$n$阶可逆矩阵，由于$|A|\ne0$，所以$A$必可经过有限次的初等变换化为标准型，其标准型的主对角线上的元素有$n$个$1$，故这个标准型只能是单位矩阵$E$

充分性

已知方阵$A$可以经过初等变换化为单位矩阵$E$，设这些初等变换对应的初等矩阵为$P_1,P_2,\cdots,P_s,Q_1,Q_2,\cdots,Q_t$,使得

$$ P_s\cdots P_2P_1AQ_1Q_2\cdots Q_t = E $$

两端取行列式得

$$ |P_s|\cdots|P_2||P_1||A||Q_1||Q_2|\cdots|Q_t|=1 $$

于是

$$ |A|\ne0 $$

于是$A$可逆