ele_mat_mul.md

方阵$A$可逆的充分必要条件是$A$可以表示为有限个初等矩阵的乘积

证明

必要性

若$A$可逆，在这个东东的基础上，由逆矩阵定义中所述，初等矩阵可逆，且其逆矩阵仍为初等矩阵可得下面这个形式

$$ A=P_1^{-1}P_2^{-1}\cdots P_s^{-1}Q_t^{-1}Q_{t-1}^{-1}\cdots Q_1^{-1} $$

即为所证

充分性

设有初等矩阵$P_1,P_2,\cdots,P_t$，使得

$$ A=P_1P_2\cdots P_t $$

因为初等矩阵可逆，所以他们的乘积也可逆，所以$A$可逆