invertibility_remains_in_transpose.md

若$A$可逆，则$A^T$亦可逆，且有$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

证明

由于$A$可逆，则有

$$ AA^{-1}=A^{-1}A=E $$

取转置，得

$$ (A^{-1})^TA^T=A^T(A^{-1})^T=E $$

由定义可知，$A^T$可逆，且

$$ (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T $$