invertibility_remains_in_multiplication.md

若$n$阶方阵$A$，$B$都可逆，则$AB$亦可逆，并且有$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

证明

由$A$，$B$可逆，则有

$$ (AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AEA^{-1}=AA^{-1}=E $$

同理可证

$$ (B^{-1}A^{-1})(AB)=E $$

由定义可知，$AB$可逆，且$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

推广

这一结果可以推广为：若$n$阶矩阵$A_1,A_2,\cdots,A_s$都可逆，则它们的乘积$A_1A_2\cdots A_s$亦可逆，且

$$ (A_1A_2\cdots A_s)^{-1}=A_s^{-1}\cdots A_2^{-1}A_1^{-1} $$

若规定$A^{-m}=(A^{-1})^m$，则上式变成

$$ (A^m)^{-1}=A^{-m} $$