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计算行列式

$$ D= \begin{vmatrix} 1 &0 &2 &4 &0\\ 2 &1 &3 &0 &3\\ 1 &0 &2 &1 &0\\ 5 &-1&-3&-2&-4\\ -2&0 &-1&2 &0 \end{vmatrix} $$

解

利用$Laplace$定理计算行列式时，选择含有零元素多的行（列）展开，可以简化计算，此题应选择按第$2$，$5$两列展开，这两列中仅有一个二阶子式非零，即

$$ \begin{vmatrix*}[r] 1&3\\ -1&-4 \end{vmatrix*} $$

于是

$$ \begin{align} D&= \begin{vmatrix*}[r] 1&3\\ -1&-4 \end{vmatrix*}\cdot (-1)^{2+4+2+5}\cdot \begin{vmatrix*}[r] 1&2&4\\ 1&2&1\\ -2&-1&2 \end{vmatrix*}\\ &= \begin{vmatrix*}[r] 1&2&4\\ 1&2&1\\ -2&-1&2 \end{vmatrix*} \xlongequal{-r_1+r_2} \begin{vmatrix*}[r] 1&2&4\\ 0&0&-3\\ -2&-1&2 \end{vmatrix*} =3 \begin{vmatrix*}[r] 1&2\\ -2&-1 \end{vmatrix*}\\ &=9 \end{align} $$

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