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例

计算行列式

$$ D= \begin{vmatrix} 1+x &1 &1 &1\\ 1 &1-x &1 &1\\ 1 &1 &1+y &1\\ 1 &1 &1 &1-y \end{vmatrix} $$

解

当$x=0$或$y=0$时，则$D=0$，下面假设$xy\ne0$时，根据定理$3.1$，我们把$D$加上一行和一列，并保持行列式不变

$$ D= \begin{vmatrix} 1 &1 &1 &1 &1\\ 0 &1+x &1 &1 &1\\ 0 &1 &1-x &1 &1\\ 0 &1 &1 &1+y &1\\ 0 &1 &1 &1 &1-y\\ \end{vmatrix} \xlongequal[-r_1+r_4\atop-r_1+r_5]{-r_1+r_2\atop-r_1+r_3} \begin{vmatrix*}[r] 1 &1 &1 &1 &1\\ -1 &x &0 &0 &0\\ -1 &0 &-x &0 &0\\ -1 &0 &0 &y &0\\ -1 &0 &0 &0 &-y \end{vmatrix*} \xlongequal[\frac1yc_4+c_1\atop-\frac1yc_5+c_1]{\frac1xc_2+c_1\atop-\frac1xc_3+c_1} \begin{vmatrix*}[r] 1 &1 &1 &1 &1\\ 0 &x &0 &0 &0\\ 0 &0 &-x &0 &0\\ 0 &0 &0 &y &0\\ 0 &0 &0 &0 &-y \end{vmatrix*}= x^2y^2 $$

这种方法巧妙地反用行列式按行（列）展开定理，我们形象地称这种计算行列式的方法为加边法

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