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定理

若$n$阶方阵$A$的第$i$行所有元素除$a_{ij}$外其余的元素都为$0$，那么这个方阵$A$的行列式$|A|$等于$a_{ij}$与它的代数余子式$A_{ij}$的乘积，即

$$ |A|=a_{ij}A_{ij} $$

证明

先证明$i=1$，$j=1$的情况，此时

$$ |A|= \begin{vmatrix} a_{11}&0&\cdots&0\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} $$

于是

$$ |A|=a_{11}A_{11} $$

显然成立

对于$i,j$的其他情况，根据换法变号的性质，最终变号次数为$i+j$刚好与代数余子式的$(-1)^{i+j}$相符，于是定理成立