mul_prop.md

设$A,B$为$n$阶方阵，$\lambda$为常数，$m$为正整数，则

1. $|\lambda A|=\lambda^n|A|$
2. $|AB|=|A||B|$
3. $|A^m|=|A|^m$

证明

（1）显然成立（根据行列式倍乘的原理）

（3）是（2）的特例，因此仅证明（2）

设$A=(a_{ij})$，$B=(b_{ij})$，记$2n$阶行列式

$$ D= \begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}&0&\cdots&0\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}&0&\cdots&0\\ -1&&&b_{11}&\cdots&b_{1n}\\ &\ddots&&\vdots&&\vdots\\ &&-1&b_{n1}&\cdots&b_{nn} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} A&O\\ -E&B \end{vmatrix} $$

由行列式的值的求法可知，$D=|A||B|$

用$b_{1j}$乘第$1$列，$b_{2j}$乘第$2$列，$\cdots$，$b_{nj}$乘第$n$列，都加到第$n+j$列上$(j=1,2,\cdots,n)$（这里采取3B1B大佬的关于矩阵乘法解释能很轻松地理解qwq），有

$$ D= \begin{vmatrix} A&C\\ -E&O \end{vmatrix} $$

显然$C=AB$

$$ \begin{align} D &= \begin{vmatrix} A&C\\ -E&O \end{vmatrix}\\ &= (-1)^n \begin{vmatrix} -E&O\\ A&C \end{vmatrix}\\ &=(-1)^{2n} \begin{vmatrix} E&O\\ A&C \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} E&O\\ A&C \end{vmatrix}\\ &= |E||C|\\ &= |C|\\ &=|AB| \end{align} $$

因此$|AB|=|A||B|$

推论

$$ |AB|=|A||B|=|B||A|=|BA| $$

值得注意的是，一般$|A+B|\ne|A|+|B|$