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形如

$$ G= \begin{bmatrix} E_r & O \\ O & O \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&&&&&\\ &\ddots&&&&\\ &&1&&&\\ &&&0&\cdots&0\\ &&&\vdots&&\vdots\\ &&&0&\cdots&0 \end{bmatrix} $$

的矩阵称为标准形矩阵

定理

设$A$为$m\times n$矩阵，则$A$必可通过有限次初等变换化为标准型矩阵

证明

若$A$为零矩阵，则定理显然成立，此时$r=0$，否则，必可通过行列的换法变换使得第一行、第一列元素$d$不为$0$，以$\frac{1}{d}$乘第一行，化$(1,1)$元为$1$，再经过适当的行、列消法变换，将矩阵化为如下形式：

$$ B=\begin{bmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & b_{m2} & \cdots & b_{mn}\end{bmatrix} $$

如果$b_{ij}(i=2,3,\cdots,m;j=2,3,\cdots,n)$全为$0$，则$B$便是标准形矩阵。如若不然，则问题简化为对$B$的子矩阵进行相同的处理，最终必能得到一个标准形矩阵。