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设$\lim_{n\to\infty}x_{n}=a$，$\lim_{n\to\infty}y_{n}=b$，则有

$$\lim_{n\to\infty}x_{n}y_{n}=\lim_{n\to\infty}x_{n}\cdot\lim_{n\to\infty}y_{n}=ab$$

证明

由$\lim_{n\to\infty}x_{n}=a$，可知数列$\{x_{n}\}$有界，即存在$M>0$，对一切$n$有$|x_{n}|\le M$

当$b=0$时，$\forall\epsilon>0$，由$\lim_{n\to\infty}y_{n}=0$，对于$\frac{\epsilon}{M}>0$，$\exists N$，当$n>N$时，有

$$|y_{n}|<\frac{\epsilon}{M}$$

于是，当$n\le N$时，有

$$|x_{n}y_{n}-ab|=|x_{n}||y_{n}|<M\cdot \frac{\epsilon}{M}=\epsilon$$

则有

$$\lim_{n\to\infty}x_{n}y_{n}=ab$$

当$b\ne0$时，$\forall\epsilon>0$，由$\lim_{n\to\infty}x_{n}=a$，对于$\frac{\epsilon}{2|b|}>0$，存在正整数$N_{1}$，当$n>N_{1}$时，有

$$|x_{n}-a|<\frac{\epsilon}{2|b|}$$

再由$\lim_{n\to\infty}y_{n}=b$，对于$\frac{\epsilon}{2M}>0$，存在正整数$N_{2}$，当$n>N_{2}$时，有

$$|y_{n}-b|<\frac{\epsilon}{2M}$$

取$N=max\{N_{1},N_{2}\}$，当$n>N$时，有

$$ \begin{align*} |x_{n}y_{n}-ab|&=|x_{n}y_{n}-x_{n}b+x_{n}b-ab|\\ &\le |x_{n}||y_{n}-b|+|b||x_{n}-a|\\ &< M\cdot \frac{\epsilon}{2M}+|b|\cdot \frac{\epsilon}{2|b|}=\epsilon \end{align*} $$

因此有

$$\lim_{n\to\infty}x_{n}y_{n}=ab$$