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设$\lim_{n\to\infty}x_{n}=a$，$\lim_{n\to\infty}y_{n}=b$，则有

$$\lim_{n\to\infty}(x_{n}\pm y_{n})=\lim_{n\to\infty}x_{n}\pm\lim_{n\to\infty}y_{n}=ab$$

证明

$\forall\epsilon>0$，由$\lim_{n\to\infty}x_{n}=a$，对于$\frac{\epsilon}{2}>0$，存在正整数$N_{1}$，当$n>N_{1}$时，有

$$|x_{n}-a|<\frac{\epsilon}{2}$$

由$\lim_{n\to\infty}y_{n}=b$，对于$\frac{\epsilon}{2}>0$，存在正整数$N_{2}$，当$n>N_{2}$时，有

$$|y_{n}-b|<\frac{\epsilon}{2}$$

取$N=max\{N_{1},N_{2}\}$，则当$n>N$时，有

$$|x_{n}+y_{n}-(a+b)|\le|x_{n}-a|+|y_{n}-b|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$

所以

$$\lim_{n\to\infty}(x_{n}+y_{n})=a+b$$