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收敛数列必有界

证明

设数列$\{x_n\}$收敛于$a$，即$\lim_{n\to\infty}x_n=a$，由数列极限的精确定义可知，对于任意给定的正数$\epsilon_0$（这里不妨取$\epsilon_0=1$，存在正整数$N$，当$n>N$时，有

$$|x_n-a|<\epsilon_0=1$$

即当$n>N$时，有

$$|x_{n}|<|a|+1$$

取$M=max\{|x_{1}|,|x_{2}|,\cdots,|x_{N}|,|a|+1\}$，则对一切正整数$n$，都有

$$|x_{n}|\le M$$

故数列$\{x_{n}\}$是有界的

推论

若数列$\{x_{n}\}$无界，则数列$\{x_{n}\}$必发散

证明

此为有界性命题的逆否命题