supremum_and_infimum.md

设$\mathbb E$是$\mathbb R$的非空子集，若存在常数$\alpha\in\mathbb R$（或$\beta\in\mathbb R$），满足条件

• 对一切$x\in\mathbb E$，都有$x\ge\alpha$（或$x\le\beta$），即$\alpha$（或$\beta$）为$\mathbb E$的下界（或上界）；
• 对于任意给定的$\epsilon>0$（无论它有多么小），都存在$x_0\in\mathbb E$，使得

$$x_0<\alpha+\epsilon\quad(x_0>\beta-\epsilon)$$

则称$\alpha$（或$\beta$）为$\mathbb E$的下确界（或上确界）

数集$\mathbb E$的下确界$\alpha$和上确界$\beta$分别记为

$$\alpha=inf\ \mathbb E,\quad\beta=sup\ \mathbb E$$